O que existe em comum entre a estrutura produtiva da Alemanha, do Japão e da Coreia do Sul? E o que diferencia essas economias de países especializados na exportação de soja, petróleo e minério de ferro? Uma maneira surpreendente de responder a essas perguntas vem da matemática, mais especificamente de uma técnica chamada Spectral Clustering, ou agrupamento espectral.

Essa técnica permite descobrir grupos de elementos semelhantes a partir das relações que existem entre eles. E o mais interessante é que ela está diretamente relacionada ao Índice de Complexidade Econômica (ECI), desenvolvido por Ricardo Hausmann e César Hidalgo, que procura identificar diferenças nas capacidades produtivas dos países a partir de suas estruturas exportadoras.

A ideia central é relativamente simples. Imagine uma matriz gigantesca que organiza o comércio internacional. Nas linhas estão os países e nas colunas estão os produtos. Cada célula indica se determinado país possui vantagem comparativa revelada na exportação daquele produto. Assim, conseguimos construir uma representação matemática da divisão internacional do trabalho, identificando quem exporta o quê.

Essa matriz é originalmente retangular, porque existem muito mais produtos do que países. Para calcular o ECI, realizamos uma transformação matemática que produz uma matriz quadrada de países por países. Essa nova matriz representa relações entre as estruturas exportadoras nacionais, ponderadas pela diversificação dos países e pela ubiquidade dos produtos. A transformação não serve simplesmente para tornar a matriz quadrada. Ela permite revelar uma estrutura específica de conexões econômicas que estava presente nos dados originais.

É nesse ponto que entram os autovalores e autovetores.

Na álgebra linear, os autovetores são direções especiais associadas a uma transformação matemática, enquanto os autovalores indicam os fatores pelos quais essas direções são ampliadas ou reduzidas. Quando aplicamos essas ferramentas a uma matriz de relações entre países, conseguimos identificar padrões estruturais que seriam muito difíceis de observar diretamente.

O Spectral Clustering utiliza justamente essas propriedades para descobrir agrupamentos naturais em redes complexas. Imagine uma rede social com milhares de pessoas. Algumas se conhecem, conversam frequentemente e compartilham muitos contatos. Outras pertencem a círculos completamente diferentes. Mesmo sem saber previamente quem faz parte de cada comunidade, um algoritmo espectral pode identificar grupos de indivíduos fortemente conectados entre si e relativamente pouco conectados aos demais.

Agora substitua as pessoas por países e as relações sociais por semelhanças entre estruturas exportadoras. Países que exportam combinações parecidas de produtos apresentam conexões mais fortes. Países com especializações muito diferentes apresentam conexões mais fracas. A matemática permite descobrir como essa rede está organizada.

O aspecto mais interessante é o papel do segundo autovetor.

Na construção tradicional do ECI, o primeiro autovetor da matriz normalizada corresponde a uma solução trivial, associada ao maior autovalor. Ele não oferece a diferenciação entre países que procuramos. O segundo autovetor, associado ao segundo maior autovalor, identifica uma dimensão não trivial da estrutura de conexões entre as economias.

Imagine, por exemplo, que temos dez países. Cinco deles exportam predominantemente máquinas, equipamentos eletrônicos, produtos químicos e instrumentos de precisão. Os outros cinco exportam principalmente petróleo, minério de ferro, soja e produtos agrícolas. Ao calcular o segundo autovetor da matriz de relações entre esses países, podemos encontrar valores positivos para um grupo e negativos para o outro.

Isso significa que o algoritmo identificou matematicamente uma divisão estrutural entre dois conjuntos de países com especializações produtivas diferentes. Não foi necessário informar previamente quais países eram industrializados ou exportadores de commodities. A separação apareceu a partir dos próprios padrões de comércio.

Naturalmente, os sinais dos autovetores são arbitrários: todos os valores poderiam ser multiplicados por menos um sem alterar o resultado matemático. O que importa são as diferenças relativas entre as posições dos países.

Essa conexão entre o ECI e o agrupamento espectral foi explorada de maneira particularmente importante por Penny Mealy, J. Doyne Farmer e Alexander Teytelboym no artigo Interpreting Economic Complexity, publicado em 2019 na revista Science Advances.

Os autores demonstram que o ECI está matematicamente relacionado a um problema de agrupamento espectral, no qual procuramos dividir uma rede de países de maneira que as conexões dentro dos grupos sejam fortes e as conexões entre os grupos sejam relativamente fracas. Mais precisamente, o segundo autovetor fornece a solução contínua de uma versão relaxada desse problema de particionamento da rede.

Mas existe uma diferença fundamental entre o agrupamento espectral tradicional e o uso desse procedimento no ECI. Em vez de simplesmente separar países em dois grupos, o ECI utiliza os valores contínuos do segundo autovetor para construir uma ordenação de todas as economias.

Isso significa que cada país recebe uma posição em uma dimensão matemática que resume um padrão importante de diferenciação das estruturas exportadoras mundiais. Países com valores próximos tendem a ocupar posições semelhantes nessa dimensão da rede, enquanto países com valores distantes apresentam diferenças mais pronunciadas segundo esse critério.

É importante destacar que o segundo autovetor não contém todas as informações presentes na matriz original. Ele representa uma redução de dimensionalidade. Estamos transformando uma estrutura com milhares de relações entre países e produtos em uma única medida numérica para cada país.

Também não significa que esse autovetor seja necessariamente a dimensão que explica a maior parcela da variância dos dados originais. Sua importância depende da estrutura espectral da matriz normalizada e do problema de agrupamento que está sendo resolvido. A interpretação dessa dimensão como complexidade econômica exige fundamentação teórica e validação empírica.

Ainda assim, o resultado é extraordinariamente interessante.

O ECI permite identificar regularidades na divisão internacional do trabalho sem partir de classificações tradicionais. Ele não precisa saber previamente quais países são ricos, pobres, desenvolvidos ou subdesenvolvidos. A classificação emerge das relações entre os produtos exportados e os países que conseguem produzi-los competitivamente.

É justamente aqui que aparece a interpretação econômica desenvolvida por Hausmann e Hidalgo. A estrutura exportadora de um país revela indiretamente seu conjunto de capacidades produtivas. Uma economia capaz de produzir competitivamente equipamentos médicos, semicondutores, máquinas industriais e produtos químicos sofisticados precisa combinar conhecimentos, competências, infraestrutura, instituições e tecnologias que não são necessários na mesma configuração para produzir bens mais simples.

Essas capacidades não são diretamente observadas na matriz de comércio. O que observamos são os produtos exportados. Mas os padrões de diversificação e especialização funcionam como sinais indiretos da estrutura de conhecimentos produtivos acumulados nas diferentes economias.

O ECI procura sintetizar justamente essa informação.

Existe, portanto, uma conexão profunda entre a teoria do desenvolvimento econômico e um conjunto muito mais amplo de técnicas matemáticas utilizadas para estudar sistemas complexos. Autovetores aparecem em problemas de redes, algoritmos de busca, análise de dados, aprendizado de máquina e identificação de comunidades. Em todos esses casos, a ideia fundamental é utilizar a estrutura das conexões para descobrir informações que não são evidentes quando observamos cada elemento isoladamente.

No caso da complexidade econômica, estamos olhando para a divisão internacional do trabalho como uma grande rede de capacidades produtivas reveladas pelo comércio mundial.

O aspecto mais poderoso dessa abordagem é que a posição de um país não depende apenas dos produtos que ele exporta individualmente. Depende também de quais outros países conseguem exportar esses produtos, de quantos produtos diferentes esses países exportam e de como toda essa estrutura está conectada.

Assim, o significado econômico de exportar determinado produto depende do lugar que esse produto ocupa na rede mundial de especialização produtiva.

No fundo, o ECI nos mostra que a complexidade de uma economia não pode ser compreendida apenas contando fábricas, produtos ou exportações. É necessário observar a estrutura de relações entre atividades produtivas, conhecimentos e capacidades.

E talvez essa seja a principal contribuição conceitual do indicador: a riqueza de informações sobre a estrutura produtiva dos países não está apenas em quais produtos eles exportam, mas também no padrão de relações entre todos os países e produtos do comércio mundial.

O Spectral Clustering oferece uma maneira elegante de descobrir essas relações. O segundo autovetor permite resumir uma dimensão importante dessa enorme rede de especialização produtiva. E o Índice de Complexidade Econômica transforma esse resultado matemático em uma ferramenta para estudar as diferenças estruturais entre as economias e os desafios do desenvolvimento.

Referências

Hidalgo, C. A. e Hausmann, R. (2009). The Building Blocks of Economic Complexity. Proceedings of the National Academy of Sciences, 106(26), 10570–10575.

Mealy, P., Farmer, J. D. e Teytelboym, A. (2019). Interpreting Economic Complexity. Science Advances, 5(1), eaau1705.

Hausmann, R. et al. (2014). The Atlas of Economic Complexity: Mapping Paths to Prosperity. MIT Press.

Resumo:

1)Começamos com a matriz retangular de países × produtos.

2)Transformamos essa matriz em uma matriz quadrada de países × países, ponderando pela diversificação dos países e pela ubiquidade dos produtos.

3)Calculamos os autovalores e autovetores dessa matriz quadrada.

4)O primeiro autovetor é trivial, pois seus componentes são constantes.

5)O segundo autovetor, associado ao segundo maior autovalor, fornece os valores que, após padronização, constituem o ECI de cada país.

Para entender como a matriz original do comércio internacional é transformada em uma matriz quadrada, utilizada no cálculo do Índice de Complexidade Econômica (ECI), podemos começar com um exemplo bastante simples. Imagine que estamos analisando três países, Brasil, Alemanha e Coreia do Sul, e quatro produtos: soja, automóveis, máquinas e eletrônicos. Construímos uma tabela em que os países aparecem nas linhas e os produtos nas colunas. Quando um país possui vantagem comparativa revelada na exportação de determinado produto, colocamos o número 1. Quando não possui, colocamos zero. Essa é nossa matriz original, com três linhas e quatro colunas, portanto uma matriz retangular de dimensão 3 por 4.

Suponha que o Brasil tenha vantagem comparativa apenas na soja, a Alemanha tenha vantagem comparativa em automóveis e máquinas, e a Coreia tenha vantagem comparativa em automóveis, máquinas e eletrônicos. Essa matriz contém uma representação simplificada da divisão internacional do trabalho. Ela nos informa quais produtos cada país consegue exportar de maneira relativamente competitiva.

O primeiro passo para transformar essa matriz retangular em uma matriz quadrada é calcular a ubiquidade de cada produto. Ubiquidade significa simplesmente quantos países possuem vantagem comparativa na exportação daquele produto. No nosso exemplo, a soja aparece em apenas um país, o Brasil. Os automóveis aparecem em dois países, Alemanha e Coreia. As máquinas também aparecem nesses dois países. Os eletrônicos aparecem apenas na Coreia. Portanto, a ubiquidade da soja é 1, dos automóveis é 2, das máquinas é 2 e dos eletrônicos é 1.

Agora vem uma ideia fundamental do método: quanto maior a ubiquidade de um produto, menor será seu peso na construção das conexões entre países. Para isso, dividimos 1 pela ubiquidade de cada produto. A soja recebe peso 1, os automóveis recebem peso 0,5, as máquinas recebem peso 0,5 e os eletrônicos recebem peso 1. Dessa maneira, produtos exportados por muitos países contribuem menos para a conexão entre eles do que produtos exportados por poucos países.

O segundo passo é comparar os países entre si, identificando quais produtos eles possuem em comum. Aqui começa a aparecer a matriz quadrada. Em vez de organizar países nas linhas e produtos nas colunas, vamos colocar países tanto nas linhas quanto nas colunas. Teremos, portanto, uma matriz de três linhas e três colunas, relacionando Brasil, Alemanha e Coreia com eles mesmos.

Como calculamos os números dessa nova matriz? Basta observar os produtos compartilhados por cada par de países e somar seus respectivos pesos. Brasil e Alemanha não compartilham nenhum produto com vantagem comparativa revelada. Portanto, a conexão entre eles é zero. Brasil e Coreia também não compartilham nenhum produto, de modo que essa conexão também é zero. Já Alemanha e Coreia compartilham dois produtos: automóveis e máquinas. Como cada um desses produtos possui peso 0,5, somamos 0,5 com 0,5 e encontramos o valor 1. Isso significa que a conexão ponderada entre Alemanha e Coreia vale 1.

Também precisamos comparar cada país consigo mesmo. Nesse caso, somamos os pesos de todos os produtos em que o próprio país possui vantagem comparativa. O Brasil exporta soja, cujo peso é 1, portanto sua conexão consigo mesmo vale 1. A Alemanha exporta automóveis e máquinas, ambos com peso 0,5, de modo que sua conexão consigo mesma também vale 1. A Coreia exporta automóveis, máquinas e eletrônicos, com pesos de 0,5, 0,5 e 1, respectivamente. Portanto, sua conexão consigo mesma vale 2.

Com isso, já conseguimos construir nossa primeira matriz quadrada. Na linha do Brasil aparecem os números 1, 0 e 0. Na linha da Alemanha aparecem 0, 1 e 1. Na linha da Coreia aparecem 0, 1 e 2. Observe que conseguimos transformar uma matriz de países por produtos em uma matriz de países por países. A nova matriz mostra a intensidade das conexões entre as estruturas exportadoras dos diferentes países, levando em consideração a ubiquidade dos produtos compartilhados.

Mas ainda falta um terceiro passo, igualmente importante: ajustar essas conexões pela diversificação de cada país. Diversificação significa simplesmente o número de produtos em que determinado país possui vantagem comparativa revelada. No nosso exemplo, o Brasil possui apenas um produto, a Alemanha possui dois e a Coreia possui três.

O ajuste é bastante simples. Dividimos todos os números de cada linha pela diversificação do país correspondente. Como o Brasil possui diversificação igual a 1, sua linha continua sendo 1, 0 e 0. Como a Alemanha possui diversificação igual a 2, dividimos todos os números da sua linha por 2, obtendo 0, 0,5 e 0,5. Como a Coreia possui diversificação igual a 3, dividimos os números da sua linha por 3, obtendo aproximadamente 0, 0,33 e 0,67.

Chegamos finalmente à matriz quadrada utilizada no cálculo do ECI. Ela possui três linhas e três colunas, relacionando os países entre si. Na primeira linha temos 1, 0 e 0. Na segunda, 0, 0,5 e 0,5. Na terceira, 0, 0,33 e 0,67.

O significado econômico dessa transformação é particularmente interessante. Observe que a conexão da Alemanha com a Coreia vale 0,5, enquanto a conexão da Coreia com a Alemanha vale aproximadamente 0,33. Por que essa diferença, se os dois países compartilham exatamente os mesmos produtos? Porque a Coreia é mais diversificada. Os produtos compartilhados com a Alemanha representam uma parcela menor de sua estrutura exportadora ponderada. Para a Alemanha, entretanto, esses mesmos produtos representam uma parcela maior de suas conexões.

Note também que todas as linhas da matriz final somam exatamente 1. Essa propriedade permite interpretar a matriz como uma estrutura de transições probabilísticas entre países, semelhante às matrizes utilizadas na análise de redes e em processos de Markov. É uma conexão matemática importante, pois ajuda a entender por que o ECI pertence à família dos métodos espectrais utilizados para estudar sistemas complexos.

Agora estamos prontos para calcular os autovalores e autovetores dessa matriz quadrada. Em uma rede conectada, o primeiro autovetor, associado ao maior autovalor, que é igual a 1, é trivial: seus componentes são constantes e, portanto, ele não permite diferenciar economicamente os países. O segundo autovetor, associado ao segundo maior autovalor, revela um padrão não trivial de organização das conexões entre os países. É esse segundo autovetor, devidamente padronizado, que produz o ECI.

Existe apenas uma particularidade no nosso exemplo: como o Brasil não compartilha nenhum produto com Alemanha ou Coreia, ele fica isolado na rede. Isso faz com que o maior autovalor apareça mais de uma vez, impedindo a identificação de um segundo autovetor único capaz de ordenar os três países. Em aplicações reais, com redes adequadamente conectadas, esse problema não ocorre da mesma maneira.

A grande conclusão é que o ECI não surge simplesmente da contagem de produtos exportados por cada país. Ele nasce de uma transformação matemática que converte informações sobre países e produtos em uma rede de relações entre países. Essa rede incorpora simultaneamente a diversificação das economias, a ubiquidade dos produtos e as conexões entre as estruturas exportadoras nacionais.

A transformação não preserva necessariamente toda a informação da matriz original, mas organiza uma parte importante dela de maneira adequada à análise espectral. O segundo autovetor dessa estrutura identifica diferenças sistemáticas nas posições dos países dentro da rede de comércio internacional. É por isso que o ECI consegue captar características da estrutura produtiva que não aparecem quando olhamos apenas para o número de produtos exportados ou para o valor total das exportações.